Условие:
В правильной треугольной пирамиде \(SABC\) с вершиной \(S\), все ребра которой равны \(3\), точка \(M\) - середина ребра \(AC\), точка \(O\) - центр основания пирамиды, точка \(F\) делит отрезок \(SO\) в отношении \(2:1\), считая от вершины пирамиды.
- Докажите, что плоскость \(MSF\) перпендикулярна ребру \(AC\).
Анализ условия:
 |
\(SO\) - высота пирамиды \(O\) - центр основания основания \(M\) - середина ребра \(AC\) Основная идея: Чтобы доказать перпендикулярность плоскости \(MSF\) ребру \(AC\), надо доказать, что это ребро перпендикулярно двум пересекающимся прямым в этой плоскости. |
Доказательство:
- \(AC \perp MO\)
- \(AC \perp MF\)
\(MF\) - наклонная к плоскости основания, \(MO\) - ее проекция.
Так как \(AC\) перпендикулярно к проекции (пункт 1), значит \(AC\) перпендикулярно и к самой наклонной (по теореме о трех перпендикулярах)
- \(AC \perp MSF\)
Мы доказали, что \(AC\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости \(MSF\). Из этого следует, что \(AC\) перпендикулярна всей плоскости \(MSF\).