Дан треугольник \(ABC\) со сторонами \(AB = 4\), \(BC = 6\) и \(AC = 8\).
На катетах \(AC\) и \(BC\) прямоугольного треугольника \(ABC\) вне треугольника построены квадраты \(ACDE\) и \(BFKC\) . Точка \(M\) - середина гипотенузы \(AB\) , \(H\) - точка пересечения прямых \(CM\) и \(DK\) .
Точки \(B_1\) и \(C_1\) лежат на сторонах соответственно \(AC\) и \(AB\) треугольника \(ABC\) , причем \(AB_1:B_1C=AC_1:C_1B\) . Прямые \(BB_1\) и \(CC_1\) пересекаются в точке \(O\) .
Диагональ \(AC\) прямоугольника \(ABCD\) с центром \(O\) образует со стороной \(AB\) угол \(30^\circ\) . Точка \(E\) лежит вне прямоугольника, причем \(\angle BEC=120^\circ\) .
На гипотенузе \(AB\) и катетах \(BC\) и \(AC\) прямоугольного треугольника \(ABC\) отмечены точки \(M\) , \(N\) и \(K\) соответственно, причем прямая \(NK\) параллельна прямой \(AB\) и \(BM=BN=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}KN\)
Окружность с центром \(O_1\) касается оснований \(BC\) и \(AD\) , а также боковой стороны \(AB\) трапеции \(ABCD\) . Окружность с центром \(O_2\) касается сторон \(BC\) , \(CD\) и \(AD\) . Известно, что \(AB=9\) , \(BC=8\) , \(CD=4\) , \(AD=15\)
Дан прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом \(C\) . На катете \(AC\) взята точка \(M\) . Окружность с центром \(O\) и диаметром \(CM\) касается гипотенузы в точке \(N\)
Окружность с центром в точке \(O\) пересекает каждую из сторон трапеции \(ABCD\) в двух точках. Четыре получившиеся хорды окружности равны.
В трапеции \(ABCD\) основание \(AD\) в два раза меньше основания \(BC\) . Внутри трапеции взчяли точку \(M\) так, что углы \(BAM\) и \(CDM\) прямые
В прямоугольной трапеции \(ABCD\) с прямым углом при вершине \(A\) расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания \(AD\) , вторая - боковых сторон, меньшего основания \(BC\) и первой окружности
Четырехугольник \(ABCD\) вписан в окружность, причем сторона \(CD\) - диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра \(AH\) к диагонали \(BD\) пересекает сторону \(CD\) в точке \(E\) , а окружность - в точке \(F\) , причем \(H\) - середина \(AE\) .
а) Докажите, что четырехугольник \(BCFE\) - параллелограмм.
б) Найдите площадь четырехугольника \(ABCD\) , если известно, что \(AB=6\) и \(AH=2\sqrt{5}\)
В треугольнике \(ABC\) известно, что \(\angle BAC=60^\circ\) , \(\angle ABC=45^\circ\) . Продолжения высот треугольника \(ABC\) пересекают описанную около него окружность в точках \(M\) , \(N\) , \(P\) .
а) Докажите, что треугольник \(MNP\) прямоугольный.
б) Найдите площадь треугольника \(MNP\) , если известно, что \(BC=6\)
Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны \(26\) и \(31\) соответственно.
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник.
б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключенного внутри окружности.
Медианы \(AM\) и \(BN\) треугольника \(ABC\) перпендикулярны и пересекаются в точке \(P\) .
а) Докажите, что \(CP=AB\)
б) Найдите площадь треугольника \(ABC\) , если известно, что \(AC=3\) и \(BC=4\)