Задачи по планиметрии
для подготовки к ЕГЭ (профильный уровень)

Дан треугольник \(ABC\) со сторонами \(AB = 4\), \(BC = 6\) и \(AC = 8\).

  1. Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения медиан и центр вписанной окружности, параллельна стороне \(BC\).Решение
  2. Найдите длину биссектрисы треугольника \(ABC\), проведенной из вершины \(A\)Решение
1

На катетах  \(AC\)  и  \(BC\)  прямоугольного треугольника  \(ABC\)  вне треугольника построены квадраты  \(ACDE\)  и  \(BFKC\) . Точка  \(M\)  - середина гипотенузы  \(AB\)  ,  \(H\)  - точка пересечения прямых  \(CM\)  и  \(DK\) .

  1. Докажите, что  \(CM\perp DK\) 
  2. Найдите  \(MH\)  , если известно, что катеты треуголника  \(ABC\)  равны  \(130\)  и  \(312\) 
2

Точки  \(B_1\)  и  \(C_1\)  лежат на сторонах соответственно  \(AC\)  и  \(AB\)  треугольника  \(ABC\) , причем  \(AB_1:B_1C=AC_1:C_1B\) . Прямые  \(BB_1\)  и  \(CC_1\)  пересекаются в точке  \(O\) .

  1. Докажите, что прямая  \(AO\)  делит пополам сторону  \(BC\) 
  2. Найдите отношение площади четырехугольника  \(AB_1OC_1\)  к площади треугольника  \(ABC\) , если известно, что  \(AB_1:B_1C=AC_1:C_1B=1:4\) 
3

Диагональ  \(AC\)  прямоугольника  \(ABCD\)  с центром  \(O\)  образует со стороной  \(AB\)  угол  \(30^\circ\) . Точка  \(E\)  лежит вне прямоугольника, причем  \(\angle BEC=120^\circ\) .

  1. Докажите, что  \(\angle CBE=\angle COE\) 
  2. Прямая  \(OE\)  пересекает сторону  \(AD\)  прямоуголника в точке  \(K\) . Найдите  \(EK\) , если известно, что  \(BE=40\)  и  \(CE=24\) 
4

На гипотенузе  \(AB\)  и катетах  \(BC\)  и  \(AC\)  прямоугольного треугольника  \(ABC\)  отмечены точки  \(M\) ,  \(N\)  и  \(K\)  соответственно, причем прямая  \(NK\)  параллельна прямой  \(AB\)  и  \(BM=BN=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}KN\) 

  1. Докажите, что четырехугольник  \(BCPM\)  - равнобедренная трапеция
  2. Найдите площадь треугольника  \(ABC\) , если  \(BM=2\)  и  \(\angle BCM =22.5^\circ\) 
5

Окружность с центром  \(O_1\)  касается оснований  \(BC\)  и  \(AD\) , а также боковой стороны  \(AB\)  трапеции  \(ABCD\) . Окружность с центром  \(O_2\)  касается сторон  \(BC\) ,  \(CD\)  и  \(AD\) . Известно, что  \(AB=9\) ,  \(BC=8\) ,  \(CD=4\) ,  \(AD=15\) 

  1. Докажите, что прямая  \(O_1 O_2\)  параллельна основаниям трапеции  \(ABCD\) 
  2. Найдите  \(O_1 O_2\) 
6

Дан прямоугольный треугольник  \(ABC\)  с прямым углом  \(C\) . На катете  \(AC\)  взята точка  \(M\) . Окружность с центром  \(O\)  и диаметром  \(CM\)  касается гипотенузы в точке  \(N\) 

  1. Докажите, что прямые  \(MN\)  и  \(BO\)  параллельны
  2. Найдите площадь четырехугольника  \(BOMN\) , если  \(CN=4\)  и  \(AM:MC=1:3\) 
7

Окружность с центром в точке  \(O\)  пересекает каждую из сторон трапеции  \(ABCD\)  в двух точках. Четыре получившиеся хорды окружности равны.

  1. Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.
  2. Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону  \(AB\)  в точках  \(K\)  и  \(L\)  так, что  \(AK=13\) ,  \(KL=6\) ,  \(LB=1\) 
8

В трапеции  \(ABCD\)  основание  \(AD\)  в два раза меньше основания  \(BC\) . Внутри трапеции взчяли точку  \(M\)  так, что углы  \(BAM\)  и  \(CDM\)  прямые

  1. Докажите, что  \(BM=CM\) 
  2. Найдите угол  \(ABC\) , если угол  \(BCD\)  равен  \(64^\circ\) , а расстояние от точки  \(M\)  до прямой  \(BC\)  равно стороне  \(AD\) 
9

В прямоугольной трапеции  \(ABCD\)  с прямым углом при вершине  \(A\)  расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания  \(AD\) , вторая - боковых сторон, меньшего основания  \(BC\)  и первой окружности

  1. Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание  \(AD\)  в точке  \(P\) . Докажите, что  \(\frac{\displaystyle AP}{\displaystyle PD}=\sin{D}\) 
  2. Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны  \(\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 3}\)  и  \(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}\) 
10

Четырехугольник  \(ABCD\)  вписан в окружность, причем сторона  \(CD\)  - диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра  \(AH\)  к диагонали  \(BD\)  пересекает сторону  \(CD\)  в точке  \(E\) , а окружность - в точке  \(F\) , причем  \(H\)  - середина  \(AE\) .

а) Докажите, что четырехугольник  \(BCFE\)  - параллелограмм.

б) Найдите площадь четырехугольника  \(ABCD\) , если известно, что  \(AB=6\)  и  \(AH=2\sqrt{5}\) 

11

В треугольнике  \(ABC\)  известно, что  \(\angle BAC=60^\circ\) ,  \(\angle ABC=45^\circ\) . Продолжения высот треугольника  \(ABC\)  пересекают описанную около него окружность в точках  \(M\) ,  \(N\) ,  \(P\) .

а) Докажите, что треугольник  \(MNP\)  прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника  \(MNP\) , если известно, что  \(BC=6\) 

12

Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны  \(26\)  и  \(31\)  соответственно.

а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник.

б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключенного внутри окружности.

13

Медианы  \(AM\)  и  \(BN\)  треугольника  \(ABC\)  перпендикулярны и пересекаются в точке  \(P\) .

а) Докажите, что  \(CP=AB\) 

б) Найдите площадь треугольника  \(ABC\) , если известно, что  \(AC=3\)  и  \(BC=4\)