Условие:
Радиус основания конуса равен \(6\), а высота конуса равна \(8\). В конусе проведено сечение плоскостью, проходящей через вершину конуса и хорду окружности основания, длина которой равна \(4\).
- Докажите, что плоскость, проходящая через середину этой хорды и высоту конуса, перпендикулярна этой хорде.
Анализ условия:
 |
\(SO\) - высота конуса \(BC\) - хорда окружности основания \(D\) - середина хорды \(AO\) - радиус, проходящий через середину хорды Основная идея: Чтобы доказать перпендикулярность хорды \(BC\) и плоскости \(DSO\), надо доказать, что хорда перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости. |
Доказательство:
- \(BC \perp DO\)
Действительно, \(BC \perp AO\) по свойству радиуса, проходящего через середину хорды
- \(BC \perp DS\)
Действиетельно, \(DS\) - наклонная к плоскости основания, \(DO\) - ее проекция. Так как \(BC\) перпендикулярна к проекции (\(DO\), см. п.1), значит \(BC\) перпендикулярна и к самой наклонной \(DS\) (по теореме о трех перпендикулярах)
- \(BC \perp DSO\)
Мы доказали, что \(BC\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости \(DSO\). Из этого следует, что \(BC\) перпендикулярна всей плоскости \(DSO\).