Условие:
Радиус основания конуса равен \(6\), а высота конуса равна \(8\). В конусе проведено сечение плоскостью, проходящей через вершину конуса и хорду окружности основания, длина которой равна \(4\).
- Найдите угол между поскостью основания и плоскостью сечения.
Анализ условия:
 |
\(SO = 8\) - высота конуса \(BC = 4\) - хорда окружности основания \(D\) - середина хорды \(AO = 6\) - радиус, проходящий через середину хорды Основная идея: Искомый угол - это угол \(\angle SDO\) |
Решение:
- Искомый угол - это угол \(\angle SDO\)
Чтобы определить угол между плоскостями - на линии пересечения плоскостей нужно взять точку и из этой точки в каждой плоскости нужно провести перпендикуляр к этой линии пересечения. Угол между этими двумя перпендикулярами и называется углом между плоскостями.
В пункте а) к данной задаче доказано, что \(SD \perp BC\) (и лежит в плоскости сечения); \(OD \perp BC\) (и лежит в плоскости основания)
- \(\angle SDO\) будем искать из треугольника \(SDO\)
Именно, будем искать тангенс этого угла:
\begin{align} \mathop{{\mathrm tg}} \angle SDO = \frac{SO}{OD} \end{align}
- Найдем \(OD\)
Чтобы найти \(OD\), рассмотрим треугольник \(ODC\) в плоскости основания.
Этот треугольник прямоугольный (\(\angle ODC\) - прямой, доказано в пункте а) данной задачи)
\(OC\) - гипотенуза этого треугольника. В то же время является радиусом окружности основания. Т.е., \(OC = 6\).
Катет \(DC\) является половиной хорды. Т.е., \(DC = 2\).
По теореме Пифагора: \({OD}^{2} + {DC}^{2} = {OC}^{2}\)
\({OD}^{2} = 36 - 4 = 32\)
Отсюда \(OD = 4\sqrt{2}\)
- Вычислим \(\mathop{{\mathrm tg}} \angle SDO\) согласно п.2
\(\mathop{{\mathrm tg}} \angle SDO = \frac{8}{4\sqrt{2}} = \sqrt{2}\)
Ответ:
\(\angle SDO = \mathop{{\mathrm arctg}}\sqrt{2}\)