Условие:
Дан треугольник \(ABC\) со сторонами \(AB = 4\), \(BC = 6\) и \(AC = 8\).
- Найдите длину биссектрисы треугольника \(ABC\), проведенной из вершины \(A\).
Анализ условия:
 |
\(с = 4\) - сторона \(AB\) \(a = 6\) - сторона \(BC\) \(b = 8\) - сторона \(AC\) \(AF\) - биссектриса \(a_b,\, a_c\) - отрезки, на которые биссектриса разбивает противолежащую сторону Основная идея: Биссектриса разбивает исходный треугольник на два. В каждом из этих треугольников два неизвестных параметра - эта биссектриса и угол при вершине \(A\). Написав теорему косинусов для каждого из этих треугольников, получим два уравнения с двумя неизвестными. Откуда находим. |
Решение:
- Найдем отрезки \(a_b\) и \(a_c\)
Известно, что отношение отрезков, на которые биссектриса делит противолежащую сторону, равно отношению сторон, исходящих из той же вершины. То есть, \begin{align} \frac{a_b}{a_c} = \frac{b}{c} \end{align} В нашем случае это значит \begin{align} \frac{a_b}{a_c} = 2 \end{align}
С учетом того, что \(\:a_b + a_c = a = 6\:\) получим \begin{align} a_b = 4, \: a_c = 2 \end{align}
- Система уравнений для нахождения биссектрисы
Рассмотрим два треугольника: \(ACF\) и \(ABF\).
Углы при вершине \(A\) в одном и другом треугольнике равны между собой (\(AF\) - биссектриса угла \(\angle BAC\)). Обозначим этот угол в каждом из треугольников \(\beta\).
Также заметим, что искомая биссектриса (обозначена \(x\)) является стороной как в одном, так и в другом треугольнике.
Для обоих треугольников применим теорему косинусов. Получим два уравнения: \begin{cases} {a_b}^2 = {x}^2 + {b}^2 - 2b\,x \cos \beta \\ {a_c}^2 = {x}^2 + {c}^2 - 2c\,x \cos \beta \end{cases}
Подставив известные величины, получим систему: \begin{cases} 16 = {x}^2 + 64 - 16x \cos \beta \\ 4 = {x}^2 + 16 - 8x \cos \beta \end{cases}
Члены, содержащие \(\cos \beta\) нам не нужны. Поэтому второе уравнение умножим на \(2\) и вычтем из первого уравнения второе. Получим \begin{align} -{x}^2 + 24 = 0 \end{align} или \begin{align} x = 2\sqrt{6} \end{align}
Ответ:
\(x = 2\sqrt{6}\)