Задачи по планиметрии
для подготовки к ЕГЭ (профильный уровень)

Условие:

Дан треугольник \(ABC\) со сторонами \(AB = 4\), \(BC = 6\) и \(AC = 8\).

  1. Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения медиан и центр вписанной окружности, параллельна стороне \(BC\).

Анализ условия:

треугольник

\(с = 4\) - сторона \(AB\)

\(a = 6\) - сторона \(BC\)

\(b = 8\) - сторона \(AC\)

\(M\) - точка пересечения медиан

\(O\) - центр вписанной окружности

\(m_c\) - медиана, проведенная из вершины \(C\)


Основная идея:

Чтобы доказать, что прямая \(OM\) параллельна \(BC\), достаточно доказать, что точки \(M\) и \(O\) отстоят от \(BC\) на одинаковое расстояние.

Доказательство:

  1. расстояние от точки \(O\) до прямой \(BC\)

    Точка \(O\) - центр вписанной окружности. Отстоит от \(BC\) на расстояние, равное радиусу этой окружности. Найдем этот радиус.

    Известна формула, связывающая радиус вписанной окружности \(r\), полупериметр треугольника \(p\) и его площадь \(S\): \begin{align} p\cdot r=S \end{align}

    С другой стороны, площадь треугольника может быть найдена поформуле Герона: \begin{align} S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \end{align}

    Из этих двух соотношений может быть выражен радиус: \begin{align} r = \frac{S}{p} = \sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}} \end{align}

    \(a\), \(b\), \(c\) заданы условием задачи; \(p\) легко вычисляется: \(p = (a + b + c)/2\)

    \(p = 9\)

    Подставляя эти значения в формулу для \(r\), получим \begin{align} r = \sqrt{\frac{5}{3}} \end{align}

    Это и есть расстояние от точки \(O\) до \(BC\)

  2. расстояние от точки \(M\) до прямой \(BC\)

    Из точки \(M\) опустим перпендикуляр на отрезок \(BC\). Это и будет искомое расстояние.

    Чтобы найти отрезок \(ML\), рассмотрим треугольник \(CLM\). Он прямоугольный (по построению).

    Угол \(LCM\) обозначим \(\alpha\), искомое расстояние \(ML\) обозначим \(h\). Тогда можно написать: \begin{align} h = CM \cdot \sin \alpha \end{align}

    Но \(CD\) является медианой, проведенной из вершины \(C\). А медианы делятся точкой пересечения в отношении \(2:1\), считая от вершины. То есть, \(CM = \frac{2}{3}m_c\).

    Учитывая этот факт, можем переписать выражение для \(h\): \begin{align} h = \frac{2}{3}m_c \cdot \sin \alpha \end{align}

    Задача, таким образом, сводится к нахождению \(m_c\) и \(\sin \alpha\).

  3. Вычислим медиану \(m_c\)

    Воспользуемся формулой для медианы треугольника: \begin{align} {m_c}^2 = \frac{2{a}^2 + 2{b}^2 - {c}^2}{4} \end{align}

    Стороны исходного треугольника известны. Подставив, можно найти \(m_c = \sqrt{46}\)

  4. Вычислим \(\sin \alpha\)

    Для этого рассмотрим треугольник \(BCD\).

    \(BD = \frac{1}{2}c\), так как \(CD\) - медиана и делит сторону \(AB\) пополам.

    Для стороны \(BD\) напишем теорему косинусов: \begin{align} {\left(\frac{c}{2}\right)}^2 = {a}^2 + {m_c}^2 - 2{a}\,{m_c} \cos \alpha \end{align}

    Подставив все известные к данному моменту величины, можно найти \begin{align} \cos \alpha = \frac{13}{2\sqrt{46}} \end{align}

    Или, воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, \begin{align} \sin \alpha = \frac{\sqrt{15}}{2\sqrt{46}} \end{align}

  5. Вычислим \(h\)

    Теперь, зная \(m_c\) (пункт 3) и \(\sin \alpha\) (пункт 4), можем вычислить \(h\) по формуле из пункта 2 \begin{align} h = \frac{2}{3}\sqrt{46}\cdot\frac{\sqrt{15}}{2\sqrt{46}} = \sqrt{\frac{5}{3}} \end{align}

  6. Вывод

    Мы видим, что расстояние от точки \(O\) до \(BC\) (\(r\), см. пункт 1) равно расстоянию от точки \(M\) до \(BC\) (\(h\), см.пункт 5)

    Это и означает, что \(MO\) параллельна \(BC\)